Bac général Spé SI 2026 Sujet 2 [Corrigé]

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Partie 1 - Sciences de l’ingénieur - Robot caddie

Sous-partie 1 – Étude de l’avancement du robot

1.1 - Relever la pente maximale à l’aide du diagramme des exigences figure 2. Montrer qu’elle correspond à un angle α de 9,1°.

La pente maximale est de 16% (exigence 1.3.2). Une pente de 16 % correspond à tan(α)=0,16.Donc α=arctan(0,16 ≃ 9,1°.

1.2 - Déterminer la vitesse angulaire ωroue des roues lorsque le robot atteint Vmax = 2,1 m·s-1

Rayon de la roue R = D/2 = 0,48/2 = 0,24 m.

Ω = V/R = 2,1/0,24 = 8,75 rad·s⁻¹.

1.3 - En utilisant le théorème de la résultante dynamique, déterminer l’expression de la force motrice du robot Fmotrice puis calculer sa valeur.

D’après le théorème de la résultante dynamique Fmotrice −mg sinα−Rr−Ra=ma.
Donc Fmotrice =ma + mg sinα +Rr + Ra = 8,2 + 63,6 + 0,02×41×9,81 + 0,67 ≈ 80 N

1.4 - Montrer que la puissance motrice pour déplacer le robot est de 168 W.

P = FxV = 80×2,1 = 168 W.

1.5 - À l’aide de la figure 4, déterminer le couple en sortie du réducteur Croue. Montrer que le couple fourni par le moteur vaut alors Cmoteur = 0,3 N·m.

Chaque roue fournit la moitié de l'effort, soit 80 / 2 = 40 N.

Croue = 40 × 0,24 = 9,6 N·m.

Le rendement du réducteur est défini par ηréducteur = Proue / Pmoteur
Donc Proue = ηréducteur · Pmoteur
Or la puissance mécanique s'écrit P = C · ω
D'où : ηréducteur · Cmoteur · ωmoteur = Croue · ωroue
Donc Cmoteur = (Croue · ωroue) / (ωmoteur · ηréducteur) = Croue · r / ηréducteur = 9,6 × (1/35) / 0,9 ≈ 0,30 N·m

1.6 - Conclure quant à la possibilité du robot à avancer dans une pente de 16 %.

Le moteur peut fournir jusqu'à 0,655 N·m. Pour advancer dans une pente de 16%, le couple demandé est 0,30 N·m minimum. Le moteur est a donc suffisamment de couple.

Sous-partie 2 - Validation des performances de la batterie

1.7 - D’après le modèle multi-physique, déterminer les grandeurs d’efforts et de flux ainsi que leurs unités sur le document DR1.

1.8 - Déterminer le courant théorique circulant dans le moteur équivalent sur terrain plat.

On a P = 20 W et U = 30 V

P = U x I

Donc I = P / U = 20 / 30 = 0,67 A

1.9 - Justifier l’allure du courant dont l’évolution est représentée figure 8. Relever en régime permanent le courant dans le moteur équivalent simulé par le modèle multi-physique puis comparer avec celui déterminé précédemment.

Au démarrage, le courant est élevé car le moteur doit fournir un couple important pour accélérer le robot qui était à l’arrêt. Quand la vitesse augmente, la force contre-électromotrice augmente et le courant diminue progressivement jusqu'au régime permanent.

D’après le graphique, ce régime permanent vaut i = 0,607 A.

L'écart avec la valeur théorique est de 0,67 - 0,607 = 0,063 A, soit environ 9 %. L’écart est faible donc le modèle est cohérent.

1.10 - Montrer que l’énergie nécessaire pour réaliser le parcours type présenté figure 9 est de 51,7 W·h.

L'énergie consommée correspond à l'aire sous la courbe : E = P (en W) x t (en h)

On découpe en 6 portions en fonction de la puissance :

De 0 à 10 min : E1 = 40 x 10/60 = 6,67 W.h.

De 10 à 25 min : E2 = 60 x 15/60 = 15,0 W.h.

De 25 à 30 min : E3 = 120 x 5/60 = 10,0 W.h.

De 30 à 40 min : E4 = 20 x 10/60 = 3,33 W.h.

De 40 à 50 min : E5 = 60 x 10/60 = 10,0 W.h.

De 50 à 60 min : E6 = 40 x 10/60 = 6,67 W.h.

Etotal = 6,67 + 15,0 + 10,0 + 3,33 + 10,0 + 6,67 = 51,67 ≈ 51,7 W.h.

1.11 - Calculer l’énergie disponible dans la batterie en W·h à partir de l’exigence id 1.2.2. En déduire le nombre de parcours type que peut réaliser le robot en tenant compte de la profondeur de décharge.

Ebat = U x C = 36 x 5 = 180 W.h.

L’exigence 1.2.2 implique que la profondeur de décharge est limitée à 80 % : E80% = 0,80 x 180 = 144 W.h.

Nombre de parcours = 144 / 51,7 = 2,78.

Le robot peut réaliser environ 2,8 parcours types, donc 2 parcours complets.

1.12 - D’après l’exigence 1.2.2, conclure sur l’autonomie du robot sur ce parcours.

Le parcours type étudié dure 1 heure. Le robot peut donc évoluer 2,78h dessus, soit un peu moins de 3h (en respectant le conseil de profondeur de décharge de 80 %). Or, l'exigence 1.2.2 impose une autonomie de 4 h : sur ce parcours type, elle n'est donc pas respectée.

Sous-partie 3 - Gestion de la batterie

1.13 - Donner l’expression de Umes en fonction Ubat, R1 et R2 puis sa valeur lorsque la tension de la batterie est maximale. Conclure vis-à-vis de la tension de référence du CAN.

Umes = Ubat x R2 / (R1 + R2)  = 41,92 x 120 / (910 + 120) = 4,88 V.

La tension maximale appliquée au CAN vaut environ 4,88 V : elle est inférieure à la tension de référence de 5 V, donc l'entrée analogique est protégée et exploitable.

1.14 et 15 - Sur le document réponse DR2, compléter la valeur de Ubat à partir de la figure 13 puis compléter Umes. Déterminer la valeur du quantum q en Volt (V) du convertisseur analogique numérique (CAN). Compléter la valeur manquante de N sur le document réponse DR2.

On lit graphiquement la valeur de Ubat  ≈ 31V

Umes = Ubat x R2 / (R1 + R2) = 31 x 120 / (910 + 120) ≈ 3,6 V

q = Uref / 2^10 (car la résolution est de n = 10 bits) = 5 / 1024 = 4,88 x 10^-3 V.

N = Umes / q = 3,6 / 0,00488 ≈ 738

1.16 - Compléter l’algorithme sur le document réponse DR2 en utilisant les données précédentes

1.17 - Déterminer le nombre d’octets n nécessaires pour l’envoi de l’information du niveau de charge de la batterie codé sur 10 bits. Déterminer la valeur décimale des éléments manquants a et X du datagramme de la figure 14 lorsque le robot envoie un niveau de charge de 75 % de la batterie au téléphone de l’utilisateur.

L'information est codée sur 10 bits. 1 octet contient 8 bits, donc il faut 2 octets pour transmettre cette information : n = 2

Len-tête = 1 + 1 + 2 + 8 + 4 + 4 = 20 octets. Avec n = 2 octets, on obtient X = 20 + 2 = 22

Sur le tableau DR2, pour un niveau de charge de 75 %, N = 980. Donc a = 980

1.18 - Conclure sur le respect des exigences 1.4.1 et 1.4.2.

Exigence 1.4.1 : « le robot doit communiquer son niveau de charge de batterie de manière visuelle et sonore ». Cette exigence est respectée grâce aux bandeaux lumineux sur les roues, bouton et la sonnerie.

Exigence 1.4.2 : « le robot doit communiquer son niveau de charge de batterie via l'application MyGita ». Cette exigence est aussi respectée car le niveau de batterie peut être transmis par datagramme IPv4 vers le téléphone de l'utilisateur.

Partie 2 - Sciences physiques

Exercice A - Niveau sonore dans une salle de classe

1 – À l’aide du texte introductif et des données, montrer que la valeur de l’intensité sonore reçue à 1,0 m de l’enseignante lorsqu’elle parle vaut I1m= 1,0 × 10−5W⋅m−2.

L = 10 log(I / I0).

On en déduit : I1m = I0 x 10^(L/10) = 1,0 x 10^-12 x 10^(70/10) = 1,0 x 10^-12 x 10^7 = 1,0 x 10^-5 W.m^-2

2 - En utilisant la relation fournie dans les données, déduire que la valeur de l’intensité sonoreémise par l’enseignante à 8,0 m, est environ I8m= 1,6× 10−7W⋅m−2.

I = k / d^2

Donc I8m = I1m / 8^2 = 1,0 x 10^-5 / 64 ≈ 1,6 x 10^-7 W.m^-2.

3 - Rappeler comment se nomme ce type d’atténuation sonore.

Cette diminution de l'intensité sonore avec le carré de la distance correspond à une atténuation géométrique.

4 - Montrer que le niveau d’intensité sonore de la voix de l’enseignante à 8,0 m vaut environ L8m= 52 dB et conclure quant à l’audibilité de la voix de l’enseignante au dernier rang danscette salle de classe lorsque les élèves sont silencieux.

Niveau sonore à 8 mètres : I8m = 1,6 x 10^-7 W.m^-2 :

L8m = 10 log(I8m / I0) = 10 log(1,6 x 10^-7 / 1,0 x 10^-12) = 10 log(1,6 x 10^5) = 52 dB.

Le bruit ambiant est de 35 dB. Pour que la voix soit audible, elle doit être supérieure d’au moins 15 dB à ce bruit ambiant, soit atteindre au minimum 35 + 15 = 50 dB, ce qui est le cas (52 dB > 50 dB) : l'élève au dernier rang peut l’entendre.

5 - Montrer que le bruit ambiant et les bavardages représentent désormais une intensité sonore d’environ Itot= 1,3×10−8W·m−2.

Itot = Iamb + Ibavardage

Or, Iamb = I0 x 10^(Lamb/10) = 1,0 x 10^-12 x 10^(35/10) = 3,16 x 10^-9 W.m^-2.

Et Ibavardage = 1,0 x 10^-8 W.m^-2.

Donc Itot = 3,16 x 10^-9 + 1,0 x 10^-8 ≈ 1,3 x 10^-8 W.m^-2.

6 – L’enseignante ne change pas son niveau d’intensité sonore. Déterminer si l’élève au dernier rang peut encore suivre le cours.

Ltot = 10 log(Itot / I0) = 10 log(1,316 x 10^-8 / 1,0 x 10^-12) = 10 log(1,316 x 10^4) ≈ 41,2 dB

Pour que la voix soit correctement audible, elle doit être de minimum 41,2 + 15 = 56,2 dB. Or, elle n’est que de 52 dB : lorsque les élèves bavardent, l'élève au dernier rang ne peut plus suivre le cours.

Exercice B - Mission JUICE : percer les secrets des lunes glacées de Jupiter

Questions 1 à 3

Deuxième loi de Kepler : Des aires égales sont balayées dans des temps égaux. Ici, le segment reliant le centre de l'astre attracteur G à la sonde J balaie des aires égales pendant des durées égales.

4 - En appliquant la deuxième loi de Newton à J, donner l’expression vectorielle de son accélération a de la sonde dans le repère de Frenet centré sur J en fonction du rayon d’une orbite circulaire R, de la masse M de Ganymède et des vecteurs unitaires (un, ut) de la base de Frenet. On note m la masse de J.

On applique la deuxième loi de Newton :

On sait que JUICE n’est soumise qu’à la force d’attraction gravitationnelle de Ganymède, donc :

F = (G × M × m / R²) · u_n

m · a = (G × M × m / R²) · u_n

a = (G × M / R²) · u_n

5 - En déduire l’expression de la vitesse v de J en fonction de G, M et R.

Dans le repère de Frenet, l'accélération d'un mouvement circulaire s'écrit a = (v²/R)·u_n + (dv/dt)·u_t
Or, d'après la question précédente, la sonde est uniquement soumise à la force gravitationnelle de Ganymède : m·a = F_G (avec : F_G = (G·M·m/R²)·u_n)
d'où : a = (G·M/R²)·u_n
Le mouvement étant circulaire uniforme, la vitesse est constante : dv/dt = 0
L'accélération devient alors a = (v²/R)·u_n
Par identification des composantes selon u_n :
v²/R = G·M/R²
v² = G·M/R
v = √(G·M/R)

6 - En déduire l’expression suivante de la troisième loi de Kepler appliquée, pour une orbite circulaire, à J.

Pour une orbite circulaire de rayon R : v = 2 πR / T

On élève au carré : v² = 4π²R² / T²

Or : v² = G · M / R

Ce revient à dire que :

4π²R² / T² = G · M / R

T² = 4π²R³ / (G · M)

T² / R³ = 4π² / (G · M)

On retrouve bien la troisième loi de Kepler.

7 - À l’aide de la troisième loi de Kepler, calculer la période de révolution T1 associée à l’orbite de rayon R1 de J.

D'après la question précédente : T₁² / R₁³ = 4π² / (G · M)

T₁² = (4π² · R₁³) / (G · M)

T₁ = √((4π² · R₁³) / (G · M))

T₁ = √((4π² × (5,00 × 10⁶)³) / ((6,67 × 10⁻¹¹) × (1,48 × 10²³))) = 2,24 × 10⁴ s  ≈ 6,2h

8 - Proposer une méthode permettant de retrouver la valeur de la masse M de Ganymède à partir des mesures qui pourraient être effectuées par la sonde en 2034.

En peut utiliser la troisième loi de Kepler et isoler la masse M :

T₁² / R₁³ = 4π² / (G · M)

M = 4π²R³ / (G·T²)

La sonde peut alors mesurer expérimentalement le rayon R de son orbite circulaire et sa période de révolution T.

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