Concours Accès - Annales 2022 : corrigé de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques

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Exercice n°1 à 5 : Raisonnement logique

Exercice n°1

Item A : Nous réalisons trois diagrammes de Venn en notant C, L et T, les Chapeaux, Lunettes et T-Shirt respectivement. On note d, l’intersection des trois, b l’intersection de C et L en excluant T ; f l’intersection de L et t en excluant ; c l’intersection de C et T en excluant L. On note a, e et g, respectivement dans C, L et T sans être dans les autres.

Alors, on a b+d+e+f =700, c+d+f+g=400, a+b+c+d=360. On a c=100, g=10a, e=250, d+f=200. Ainsi, b=700-450=250, g=400-300=100, a=10 et d=0. On obtient un total de 10+250+100+250+200+100=910.

L’item A est FAUX. L’item B est FAUX car d=0 L’item C est FAUX car c’est 100+250+200=550 L’item D est FAUX car le chiffre d’affaires potentiel est 360*20+400*15+700*30=34200

Exercice n°2

L’item A est VRAI, car en faisant la règle par trois, nous obtenons n/3 garçons correspondent à 12000 questionnaires/x jours. Donc, 1 garçon correspond à (12000/x)*(3/n), d’où (36000/nx).

L’item B est FAUX, car il s’agit de 20x en x jours.

L’item C est FAUX, car nous avons (2n/3)*20x=32000 et donc, x=(2400/n)

L’item D est FAUX, car on a 12000+16000x=44000 qui conduit à x=20 qui est supérieur à 18 jours.

Exercice n°3

On a A=D/3, D=1,2B, A+D=B+C, avec C=3000, on obtient 0,5D=3000 et successivement D=6000, A=2000 et B=5000.

Compte tenu de cela, L’item A est FAUX, car A+C=2000+3000=5000. L’item B est FAUX car D=6000 est le plus grand L’item C est VRAI, car C=3000=2000+0.5*1000=A+0.5*A ; c’est bien 50%. L’item D est FAUX car A+B+C+D=16000 inférieur à 17000

Exercice n°4

Nous réalisons un graphe à 4 parties, constitué de : M(Marketing), P(Psychologie), F(Finance)

H1(14h-15h), H2(15h-16h), H3(16h-17h)

CTD(Chargé de TD), C(Chercheur), EXT(L’externe)

AM(Amphi), SC(Scoworking), SI(Salle Info)

P est soit dans H1 soit H3. Mais H1=SI et P=AM donc P=H3&AM.

Donc M=H1, car F=H2.

Donc, SC=H2&F, puisque CDT et C se succèdent, et que C=H2 implique EXT=H3.

On a alors : CDT&M&H1&SI C&F&H2&SC EXT&P&H3&AM - L’item A est FAUX L’item B est FAUX L’item C est VRAI L’item D est FAUX

Exercice n°5

L’item A est FAUX, car c’est (1.06^n)x et non (1.06x)^n. En effet, notons x_n la mesure après n expériences. On aura x_1=1.06x, x_2=1.06x_1=1.06(1.06x)=(1.06^2)x, x_3=1.06x_2=1.06(1.06x^2)x=(1.06^3)x, ainsi de suite.

L’item B est VRAI, car (1.06)^2 = 1.123 qui correspond à 12.3% qui est supérieur à 10%. En effet, x_2=(1.06^2)x=1.123x=x+0.123x=x+12.3%x.

L’item C est FAUX, car x_n=(1.06^n)x et x_n-x=(1.06^n)x-x=[1.06^n -1]x qui est fonction de x.

L’item D est FAUX, car ((1.06)^n)x ≥2x équivaut ((1.06)^n) ≥2, qui équivaut à n ≥ln(2)/ln(1.06) et non à n ≥xln(2)/ln (106).

Exercice n°6 à 10 : Raisonnement mathématique

Exercice n°6

f(x)=(4e^x)/(1+e^x)

L’item A est VRAI car 1+e^x différent de 0

L’item B est VRAI, car f’(x)=4/(1+(1/e^x))

L’item C est VRAI, il suffit de calculer f’(x) en respectant la dérivée de la division de deux fonctions.

L’item D est VRAi, car y=f’(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+2=x+2

Exercice n°7

L’item A est VRAI car f’(x)=2*e^(2x)-e^x

L’item B est VRAI, car après avoir étudié le signe de la dérivée, on constate que f’(x) est négatif sur ]-infinie,ln(0.5)] et positif de [ln(0.5),+infini[

L’item C est FAUX, car f(x)=0 équivaut à (-2+e^x)(1+e^x)=0 et donc x=ln2

L’item D est FAUX, car f’(0)=1 différent de 0.

Exercice n°8

L’item A est FAUX, car c’est l’ensemble IR privé de -2,0 et 2.

L’item B est VRAI, car f(-x)=8/(-x(-4+x^2))=-f(x)

L’item C est FAUX, car f est impair, donc la courbe est symétrique par rapport à l’origine.

L’item D est VRAI, car en développant cette expression, on retrouve celle de f(x).

Exercice n°9

L’item A est VRAI, car l’expression (2-x)/(2+x) est strictement positive sur ]-2,2[

L’item B est VRAI, car f(0)=ln(2/2)=ln(1)=0

L’item C est VRAI, car f(-x)=ln((2+x)/(2-x))=-ln((2-x)/(2+x))=-f(x)

L’item D est FAUX, car en développant l’expression donnée, on ne retrouve pas f’(x)=-4/(4-x^2).

Exercice n°10

L’item A est FAUX, car P(X=1)=n*0.2*(0.8)^(n-1)

L’item B est VRAI, car V(X)=np(1-p)=n*0.2*0.8=0.8 implique n=1/0.2=5

L’item C est FAUX, car cette probabilité = 1-P(Y=3)=1-(0.2)^3=0.992

L’item D est FAUX, car cela est équivalent à P(Y=3)=0.2^3=0.008

Exercice n°11 à 15 : Problème mathématique

Exercice n°11

L’item A est FAUX, car périmètre de P1=x+2ax+(pi*x)/2. En effet, c’est x+2ax+longueur du demi-périmètre du cercle. Or la longueur du demi-périmètre de cercle de diamètre D est pi*D/2 ; or D=x. D’où le résultat.

L’item B est FAUX, car la superficie d’un cercle de rayon r est pi*r^2. Or r=x/2 ; donc la surface de P2 est (pi*r^2)/2=((pi*(x/2)^2)/2=(pi*x^2)/8.

L’item C est VRAI, car la surface de P1=surface du rectangle – surface du demi-disque. C'est-à-dire : ax*x- (pi*x^2)/8= (a-pi/8)x^2.

L’item D est VRAI, car pour a=3pi/8, Surface de P1 est (3pi/8 –pi/8)x^2=(pi/4)x^2 et celle de P2 est (pi/8)x^2=0.5*surface (P1).

Exercice n°12

L’item A est VRAI, car si x=50, on obtient (pi/2)x=25pi=78.5 supérieur à 78

L’item B est FAUX, car si x=50 le devis de Dupont est 1000+5*78.5=1392.5 inférieur à 1400

L’item C est FAUX, car si x=50 le devis de Michel est 25*78.5=1962.5, plus cher et donc, moins intéressant.

L’item D est VRAI, car si x=100/pi, on obtient une longueur de 50m et là, le devis de Michel est 25*50=1250 ; celui de Dupont est 1000+5*50=1250. On a bien l’égalité.

Exercice n°13

L’item A est FAUX, car c’est une inversion. On a plutôt 3x_1+5x_2=5

L’item B est FAUX, car en résolvant le système d’équations 3x_1+5x_2=5 ; 10x_1+20x_2=19 on obtient x_2=7/10=0.7 et x_1=0.5 et donc, x_2=x_1+0.2

L’item C est FAUX, car l’aire de P1 est x^2 et donc \beta% de P1 est (\beta/100)x^2. Or si 4 plants de tomates occupent 1m^2, alors 1m^2 correspond à 2 €. On en déduit que le prix est (\beta/50)x^2.

L’item D est VRAI, car la tomate est dans (\beta/100)x^2,.quand le tournesol est dans ((100-\beta)/100)x^2. Donc, 40m^2 contre 360m^2 ; ce qui correspond à 160 plants de tomates et 2160 plants de tournesol. Le prix total est donc 160*0.5+2160*0.7=1592€

Exercice n°14

L’item A est FAUX, car la surface vaut 10000m^2 et on a 0.85y*10000=8500y

L’item B est FAUX, car si p=3.5, B(y)=3.5y-0.25y^2 –y-5.25=0 implique que -0.25y^2 +2.5y-5.25=0 qui a pour discriminant 1. On trouve y=3 ou y=7.

L’item C est VRAI, car si p=3.5B(y)=-0.25y^2 +2.5y-5.25. B’(y)=-0.5y+2.5=0 implique y=5 litres.

L’item D est FAUX, car si p=3.5 et y=4 litres, le bénéfice total est 10000*B(4)=10000*0.75=7500

Exercice n°15

L’item A est VRAI, car C(n_1,n_2)=0.3(n_1+n_2)+0.5n_1+0.7n_2+0.01n_1*n_2+20 ce qui donne la forme proposée après réduction.

L’item B est FAUX, car T(n_1,n_2)=0.75*0.9*2*n_2+0.5*0.8*3.5*n_2=1.35n_1+1.4n_2

L’item C est VRAI, car B(n_1,n_2)=T(n_1,n_2)- C(n_1,n_2) = 1.35n_1+1.4n_2-0.8n_1-n_2-0.01n_1*n_2-20 = 0.55n_1+0.4n_2-0.01n_1*n_2-20

L’item D est FAUX, car lorsque n_1=n_2, B(n,n)=-0.01n^2 +0.95n-20. En utilisant le déterminant 0.1025, on obtient n=63.5 ou n=31.49. C’est donc entre 32 et 63.