BTS SIO Mathématiques pour l'informatique 2026 [Corrigé]

• Sujet disponible ici

Exercice 1 – QCM

Lecture des règles du QCM : éléments importants à retenir

La lecture des règles du QCM est importante afin de ne pas commettre d’erreurs facilement évitables et d’adopter la bonne stratégie en cas de doutes. Ici, retenons 3 éléments :

• Une seule bonne réponse est possible : inutile donc d’en indiquer 2 !
• Une mauvaise réponse ne vous fait pas perdre de point : si vous avez un doute, répondez quand même, cela ne vous pénalisera pas. Nous vous conseillons donc de ne jamais laisser une question sans réponse.
• Aucune justification n’est demandée : vous devez seulement indiquer le numéro de la question et la lettre de votre réponse (contrairement à ce que nous allons faire dans cette première partie de correction afin de vous donner des éléments de compréhension).

Les réponses expliquées au QCM

Question 1 – Réponse C

On commence par calculer la partie entière :10110₂ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 16 + 4 + 2 = 22

On calcule ensuite la partie fractionnaire : 0,11101₂ = 1×2⁻¹ + 1×2⁻² + 1×2⁻³ + 0×2⁻⁴ + 1×2⁻⁵ = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0 + 0,03125 = 0,90625

On a donc (10110,11101)₂ = (22,90625)₁₀

Question 2 – Réponse B

3D8₁₆ + 2C5₁₆

Unités : 8 + 5 = D
Seizaines : D + C = 25₁₀ = 19₁₆ : on écrit 9 et on retient 1
256aines : 3 + 2 + 1 = 6

Donc : 3D8₁₆ + 2C5₁₆ = 69D₁₆

Question 3 – Réponse C

D’après le diagramme :

f(1) = b
f(2) = a
f(3) = d
f(4) = a
f(5) = c

Donc :

f⁻¹({a ; b}) = {1 ; 2 ; 4} - La proposition A est fausse

{1 ; 2} ∩ {2 ; 3} = {2}, donc f({2}) = {a} - La proposition B est fausse

f⁻¹({c ; d}) = {3 ; 5}, or le complémentaire dans E est {1; 2; 4}, et f⁻¹({a ; b}) = {1 ; 2 ; 4} - La proposition A est vraie

Question 4 – réponse B

On a f(4) = a et g(a) = y

Donc : (g ∘ f)(4) = g(f(4)) = g(a) = y

Exercice 2 – Arithmétique modulaire

Question 1 - Coder le mot SI avec la clé (9 ; 5) 

La lettre S correspond à x = 18
9 × 18 + 5 = 167
167 ≡ 11 [26]
11 correspond à L
Donc S est codée en L.

La lettre I correspond à x = 8
9 × 8 + 5 = 77
77 ≡ 25 [26]
25 correspond à Z
Donc I est codée en Z.

Le mot SI est codé en LZ avec la clé (9 ; 5).

Question 2 – Algorithme

Une clé (a ; b) est acceptable seulement si a est premier avec 26, c'est-à-dire si pgcd(a, 26) = 1. L'algorithme parcourt donc toutes les valeurs de a de 1 à 25 et compte celles qui vérifient cette condition. À chaque fois que c'est le cas, on ajoute 1 à nb. Enfin, on multiplie par 26 car b peut prendre 26 valeurs différentes (de 0 à 25).

Ligne 3 : 25

Ligne 4 : 1

Ligne 5 : nb + 1

Question 3 – Fonction inverse

3.a. On cherche le plus petit nombre c tel que a × c donne un reste égal à 1 quand on divise par 26. Tant que ce n’est pas le cas, on augmente c de 1. Quand on a trouvé, on renvoie c.

Ligne 3 : ≠ 1

Ligne 5 : c

3.b. On cherche le plus petit entier c tel que 9 × c ≡ 1 [26]

Avec c = 1 : 9 × 1 = 9 – On continue
Avec c = 2 : 9 × 2 = 18 – On continue
Avec c = 3 : 9 × 3 = 27 : il reste 1 – La condition est vérifiée, on s’arrête

Donc inverse(9) = 3

Question 4 

4.a. On multiplie les deux membres par 3 :

3(9x + 5) ≡ 3y [26]

27x + 15 ≡ 3y [26]

Or 27 ≡ 1 [26], donc : x + 15 ≡ 3y [26]

Ainsi, si 9x + 5 ≡ y [26]

Alors x + 15 ≡ 3y [26]

4.b.

Pour la lettre Z :

Z correspond à y = 25

x ≡ 3 × 25 + 11 ≡ 86 [26]

Or 86 = 3 × 26 + 8, donc x = 8 et 8 correspond à la lettre I

Pour la lettre A :

A correspond à y = 0

x ≡ 3 × 0 + 11 ≡ 11 [26]

11 correspond à la lettre L.

ZA se décode donc en IL.

Exercice 3 - Graphes, matrices d’adjacence et fermeture transitive

Partie A

Question 1

On calcul P × N :

Première ligne : 7 × 2 + 12 × 3 + 20 × 4 = 14 + 36 + 80 = 130

Deuxième ligne : 7 × 2 + 15 × 3 + 30 × 4 = 14 + 45 + 120 = 179

Le groupe paiera 130 € le midi et 179 € le soir.

Question 2 

2.a

Coefficient de la première ligne de P' x N : 7 × 2 + 12 × 3 + t × 4

= 14 + 36 + 4t

= 50 + 4t

Le coefficient de la première ligne de P' x N est donc (50 + 4t)

2.b.

Montant facturé le midi = 50 + 4t

Pour que ce montant soit égal à 138 €, on cherche : 50 + 4t = 138

4t = 138 − 50

4t = 88

t = 88 ÷ 4

t = 22

La tarif du midi doit donc être de 22 €.

Partie B

Question 1

Les trois conditions se traduisent par :

1. Le client prend un apéritif, une boisson et un café : abc

2. Le client prend un apéritif, une boisson mais pas de café : abc̄

3. Le client prend un apéritif, un café mais pas de boisson : ab̄c

Donc : E = abc + abc̄ + ab̄c

Question 2

Tableau de Karnaugh :

a \ bc	00	01	11	10
0	0	0	0	0
1	0	1	1	1

Les cases contenant 1 correspondent à :

• ab̄c

• abc

• abc̄

On remarque que les trois termes contiennent a. On effectue deux regroupements de 2 cases :

• (abc̄, abc), soit ab

• (ab̄c, abc), soit ac

On obtient alors l'expression simplifiée : E = ab + ac

Question 3

Un client est « très rentable » si et seulement si :

• Il prend un apéritif (a),

• Il prend soit une boisson (b) soit un café (c).

Question 4

À partir du tableau de Karnaugh de E :

-     les 4 cases de la ligne a = 0 donnent ā ;

-     les cases b = 0 et c = 0 donnent b̄c̄.

On obtient donc : Ē =  ā + b̄c̄

Partie C

Question 1

1.a. Le chemin hamiltonien allant de A vers E passe une seule fois par chaque sommet : A, B, C, D et E. Il correspond donc à : A → B → C → D → E

1.b. Un client qui parcourt ce chemin hamiltonien visite une seule fois chacune des zones du restaurant, en passant successivement par l'accueil, le buffet des entrées, le buffet des plats chauds, le buffet des desserts puis la caisse et la sortie.

Question 2

Sommet	A	B	C	D	E
Successeur(s)	B, C	C	C, D, E	D, E	Aucun

Question 3

M = ( 0 1 1 0 0
         0 0 1 0 0
         0 0 1 1 1
        0 0 0 1 1
        0 0 0 0 0 )

Question 4

4.a.

On commence par déterminer M^2 :

M^2 = ( 0 0 2 1 1

            0 0 1 1 1
            0 0 1 2 2
            0 0 0 1 1
            0 0 0 0 0 )

On en déduit M^3 :

M^3= ( 0 0 2 3 3
            0 0 1 2 2
            0 0 1 3 3
            0 0 0 1 1
            0 0 0 0 0 )

4.b.

Dans la matrice M^3, le nombre de chemins de longueur 3 allant de C vers E se lit à la ligne C et à la colonne E. Or, dans M^3, le coefficient situé ligne C, colonne E vaut 3. Donc il y a 3 chemins de longueur 3 allant de C vers E.

Question 5

On compare les deux matrices M et M^3 :

A → D : absent dans M, présent dans M̄

A → E : absent dans M, présent dans M̄

B → D : absent dans M, présent dans M̄

B → E : absent dans M, présent dans M̄

Les autres arcs sont déjà présents dans le graphe initial. Il faut donc ajouter 4 arcs pour obtenir sa fermeture transitive.