BTS SIO Mathématiques approfondies 2026 [Corrigé]

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Exercice 1

Partie A

Question 1

La fonction g est un produit de deux fonctions :

On obtient donc u'(x) = 1  

Pour dériver v(x)  on utilise la formule

Donc 

On utilise ensuite la formule de dérivation d’un produit : (uv)' = u'v + uv'  

Et on obtient : 

On en conclut que pour tout

Question 2.a.

Pour tout réel x, une exponentielle est strictement positive :

De plus, pour tout

Donc

Ainsi g'(x) > 0 sur [0;1].

La fonction g est donc strictement croissante sur l’intervalle [0;1].

Question 2.b.

Une fonction permettant de modifier le contraste d’une image en noir et blanc doit vérifier les 3 propriétés suivantes :

1/ g(0) = 0 

2/ g(1) = 1 

3/ Être croissante sur [0;1].

On vérifie donc :

1/ 

g(0) = 0 

2/ 

g(1) = 1 

3/ D’après la question précédente, g est croissante sur [0;1].

Les trois conditions sont donc vérifiées.

Question 3.a.

Pour vérifier que G est une primitive de g, il faut démontrer que : G'(x) = g(x) 

Or

Donc

On en déduit donc que G(x) est une primitive de g sur [0;1].

Question 3.b.

On sait qu’une fonction f augmente le contraste si

On calcule l’une après l’autre les deux intégrales :

On en déduit donc

On calcule les trois valeurs :

En transposant les valeurs, on obtient :

Donc la fonction g diminue le contraste.

Partie B

Question 1.a.

À chaque itération, le contraste diminue de 6%. Il reste donc 100% - 6% = 94% = 0,94 

U1 = U0 x 0,94 = 0,81 x 0,94 = 0,7614

Question 1.b.

U2 = U1 x 0,94 = 0,7614 x 0,94 = 0,715716 

Question 2.a.

À chaque itération, on multiplie le contraste précédent par le même nombre 0,94. Donc Un+1 = 0,94Un

La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison q = 0,94 et de premier terme U0 = 0,81 

Question 2.b.

Pour une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q, on a :

Ici U0 = 0,81 et q = 0,94 

Donc

Question 2.c.

On cherche le plus petit entier naturel n tel que Un < 0,5 

Cela revient à résoudre

On utilise le logarithme

Comme ln(0,94) < 0, on inverse le sens de l’inégalité en divisant :

Le plus petit entier strictement supérieur à 7,797 est n = 8 

Donc le contraste devient inférieur à 0,5 à partir de la huitième itération.

Exercice 2

Partie A

Question 1.a.

L’énoncé indique que 1% des connexions sont malveillantes. Donc P(A) = 1/100 = 0,01

Question 1.b.

Question 2.

L’événement T peut se produire de deux manières :

•          la connexion est une attaque et le pare-feu la détecte ;

•          la connexion est légitime mais le pare-feu la signale à tort.

On utilise la formule des probabilités totales : P(T) = P(A ∩ T) + P(A̅ ∩ T) = P(A) × P(T|A) + P(A̅) × P(T|A̅) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,005 = 0,0099 + 0,00495 = 0,01485

Question 3.a.

On cherche la probabilité qu’une connexion soit réellement une attaque sachant que le pare-feu l’a signalée comme attaque, ce qui revient à chercher

Question 3.b.

L’administrateur estime que le pare-feu est bien configuré si :

Or on a trouvé :

Le pare-feu n’est donc pas bien configuré.

Partie B

Question 1

On effectue n = 50 « tirages avec remise », donc 50 répétitions indépendantes.

Chaque connexion a deux issues et peut donc être vue comme une épreuve de Bernoulli :

•       succès : la connexion est malveillante (p = 0,06)

•          échec : la connexion n’est pas malveillante.

Ainsi

Question 2.a

On cherche P(X=2)  

Pour une loi binomiale

On sait que n = 50, p = 0,06 et k = 2  

Donc

Question 2.b

On cherche P(X ≥ 1)

On passe par l’événement contraire :

Question 3

Le nombre moyen de connexions malveillantes par échantillon de 50 connexions est donc de 3.

Partie C

Question 1

Avec t=6

On applique le logarithme népérien :

-6λ = ln(0,4)

Question 2

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, l’espérance est E(Y) = 1 / λ  

D’après la question précédente,

On a donc E(Y)≃1/0,153 ≃ 6,548 

La durée moyenne d’efficacité d’une configuration est donc d’environ 6,548 mois.

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